Partie écrite sur 20 points, puis un exercice R sur 8 points. Le corrigé est à la fin.
Exercice 1 : questions de cours (4 pts)
- (2 pts) Expliquer la différence entre un diagramme différentiel et un diagramme intégral pour une variable quantitative.
- (2 pts) Expliquer la différence entre la variance théorique et la variance corrigée. Donner les deux formules et dire pourquoi on utilise la variance corrigée.
Exercice 2 : statistique descriptive univariée (8 pts)
On étudie X, la durée de fonctionnement (en heures) de 10 machines :
120 130 125 140 135 150 145 160 170 155
- (1 pt) Donner la population, sa taille, le caractère étudié et sa nature.
- (3 pts) Donner la formule de la moyenne, puis calculer la moyenne et la médiane.
- (3 pts) Donner la formule de la variance théorique, puis calculer la variance corrigée et l'écart-type.
- (1 pt) Comparer moyenne et médiane, et conclure sur l'asymétrie.
Exercice 3 : données groupées (8 pts)
Temps de traitement (en secondes) d'une machine industrielle :
| Intervalle (s) | Effectif |
|---|---|
| [10 ; 20[ | 6 |
| [20 ; 30[ | 14 |
| [30 ; 40[ | 20 |
| [40 ; 50[ | 10 |
| Total | 50 |
- (3 pts) Calculer les milieux de classes, donner la formule de la moyenne estimée et la calculer.
- (3 pts) Calculer les effectifs cumulés, trouver la classe médiane et calculer la médiane estimée avec
Me = L + h × (N/2 − F) / f. - (2 pts) Interpréter la moyenne et la médiane.
Exercice R (8 pts, 30 à 40 min)
Un fichier texte contient la variable X, temps de réponse (en secondes), mesurée sur 20 individus. Son nom est stocké dans la variable fichier. Le fichier a une ligne d'en-tête, utilise ; comme séparateur et , comme séparateur décimal.
- (1 pt) Écrire la commande R qui importe les données dans un objet
data. - (1 pt) Donner la population, sa taille, le caractère étudié et sa nature.
- (3 pts) Donner les commandes R pour : la moyenne, la médiane, la variance corrigée, l'écart-type, les quartiles (une commande par ligne).
- (2 pts) Donner les commandes R pour tracer un histogramme de X et une boîte à moustaches horizontale de X.
- (1 pt) Donner les commandes R pour le coefficient d'asymétrie et le coefficient d'aplatissement, en précisant la bibliothèque.
Corrigé
Exercice 1
- Le diagramme différentiel représente les effectifs (ou fréquences) de chaque valeur ou classe : diagramme en bâtons, histogramme. Le diagramme intégral représente les effectifs (ou fréquences) cumulés : courbe cumulative, en escalier pour une variable discrète.
- Variance théorique :
V = (1/n) × Σ (xi − x̄)². Variance corrigée :s² = (1/(n−1)) × Σ (xi − x̄)². Sur un échantillon, la variance théorique sous-estime en moyenne la variance de la population, parce que les écarts sont pris par rapport à x̄, calculée sur les mêmes données. Diviser par n − 1 donne un estimateur sans biais.
Exercice 2
- Population : les 10 machines. Taille n = 10. Caractère : la durée de fonctionnement, quantitatif continu.
x̄ = (1/n) × Σ xi = 1430 / 10 = 143 h. Valeurs triées : 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 170. n est pair, donc la médiane est la moyenne des 5e et 6e valeurs :Me = (140 + 145) / 2 = 142,5 h.- Écarts à la moyenne : −23, −13, −18, −3, −8, 7, 2, 17, 27, 12. Somme des carrés : 2310. Variance théorique : 2310 / 10 = 231. Variance corrigée : 2310 / 9 ≈ 256,67. Écart-type corrigé : √256,67 ≈ 16,02 h.
- x̄ = 143 est à peine plus grand que Me = 142,5 : la distribution est presque symétrique, très légèrement étalée à droite.
Exercice 3
- Milieux : 15, 25, 35, 45.
x̄ ≈ Σ ni × ci / N = (6×15 + 14×25 + 20×35 + 10×45) / 50 = 1590 / 50 = 31,8 s. - Effectifs cumulés : 6, 20, 40, 50. N/2 = 25, première classe où le cumul dépasse 25 : [30 ; 40[.
L = 30, h = 10, F = 20, f = 20, donc
Me = 30 + 10 × (25 − 20) / 20 = 32,5 s. - La moitié des traitements dure moins de 32,5 s, et la durée moyenne est 31,8 s. La moyenne est un peu plus petite que la médiane : la distribution est légèrement étalée à gauche, à cause de la classe [10 ; 20[.
Exercice R
Question 2 : population, les 20 individus, taille n = 20. Caractère : le temps de réponse, quantitatif continu.
# 1
data <- read.table(file = fichier, header = TRUE, sep = ";", dec = ",")
# 3
mean(data$X)
median(data$X)
var(data$X)
sd(data$X)
quantile(data$X)
# 4
hist(data$X)
boxplot(data$X, horizontal = TRUE)
# 5
library(moments)
skewness(data$X)
kurtosis(data$X)